网络学习笔记2——信号与系统

1.信号相关概念

• 信号：信号与系统范畴内，信号被描述为以时间为唯一自变量的函数，一般连续信号使用x(t)表示，离散信号使用x[n]表示
• 信号的功率与能量：描述信号能量的物理量，如下表中所示。当范围分别趋向于正无穷和负无穷时，为无限范围的能量。

定义	公式
信号在一定时间范围内的能量	$\int^{T1}{T2} \lvert x(t)\rvert^2dt$（连续）、 $\sum\limits^{T1}{n=T2} \lvert x[n] \rvert ^2$（离散）
信号在一定时间范围内的功率	$\frac{1}{T1-T2}\int^{T1}{T2} \lvert x(t) \rvert^2dt$（连续）、 $\frac{1}{T1-T2}\sum\limits^{T1}{n=T2} \lvert x[n] \rvert^2$（离散）

• 自变量变换：对于一个信号$ x(t) $ 进行自变量的线性变换 $ x(\alpha \times t + \beta) $，不同的变换组合如下表所示：

变换	参数变换	举例
时移	$\alpha = 0,\beta \neq 0 $	时间移动，当$\beta > 0 $，信号向时间轴右侧移动，反之左侧
反转	$\alpha = -1,\beta=0 $	时间反转，将信号按时间倒转，类似于磁带倒放
尺度变换	$\alpha \neq 0,1,-1,\beta=0 $	时间尺度伸缩，$\alpha>0 $时间加速，类似于音乐加速播放，反之为减速

• 周期信号：对于连续信号而言，对于任意t均满足$ x(t) = x(t+T) $ 的信号为周期信号，否则为非周期信号，最小的T为基波周期；对于离散信号而言，对于任意的n均满足 $ x[n] = x[n + N] $ 的信号为周期信号，否则为非周期信号，最小的N为基波周期。
• 奇信号与偶信号：奇信号和偶信号的概念如下所示，任意一个信号$ x(t)$都能被分解为一个奇信号 $ \frac{x(t) - x(t)}{2} $ 和一个偶信号$ \frac{x(t)+x(-t)}{2} $的和

概念	定义
奇信号	对任意的t或n，满足$ x(t) = -x(-t) $ 或 $ x[n] = -x[-n] $
偶信号	对任意的t或n，满足$ x(t) = x(-t) $ 或 $ x[n] = x[-n] $

1.1.指数信号和正弦信号

连续时间域下的指数信号公式如下所示：

$$x(t) = Ce^{at}$$

该信号的参数具有以下几种分类：

名称	说明	应用
实指数信号	C、a均为实数	指数爆炸和指数衰减
周期复指数信号	C为实数，a为纯虚数	构造其他信号
一般复数指数信号	其他	正弦阻尼震荡

这里重点关注的是第二种周期复指数信号，其条件为a为纯虚数，取$ a = jw_0t $，带入有：

$$x(t) = Ce^{jw_0t}$$

该信号为周期信号，基波周期为$ T_0=\frac{2\pi}{|w_0|}$（通过$ e^{jw_0t}=1 $求出）。根据欧拉公式，有：

$$x(t) = Ce^{jw_0t} = C \times cos(w_0t) + j \times C \times sin(w_0t)$$

该信号在一个基波周期$ T_0 $的能量是$ T_0 $，功率为1，由此推定在无限周期上，该信号的功率为1，该信号通常用于构造其他信号。需要注意的是，使用复数是因为这里需要使用一个量描述两个物理量，即振幅和相位。在离散域下同理，

1.2.阶跃信号和冲激信号

对于离散信号下，有单位脉冲序列$\delta[n]$和单位阶跃序列u[n]，公式如下：

$$\delta[n] = \begin{cases}0 & n \neq 0 \\ 1 & n=0\end{cases},u[n] = \begin{cases}0 & n < 0 \\ 1 & n\geq0\end{cases}$$

二者的关系为：单位脉冲序列为单位阶跃序列的一次差分，单位阶跃序列为单位脉冲序列的求和：

$$\delta[n] = u[n] - u[n - 1],u[n] = \sum\limits_{i=0}^n\delta[i]$$

对于连续信号下，对应的由阶跃信号和冲激信号，对于阶跃信号u[t]有：

$$u[t] = \begin{cases}0 & t <0\\1 & t\geq 0\end{cases}$$

对于冲激信号$\delta(t)$，其类似于离散上的单位脉冲信号，但是由$\delta(0) = \infty $，其满足以下两个条件：

• 当$ t \neq 0 $时，均有$\delta(t) = 0 $
• 对于整个时间上积分为1，即$\int\delta(t)dt = 1 $

2.系统相关概念

2.1.系统特性

系统可以看成一个过程：输入一个信号并产生一个输出信号，系统基础性质由以下几种：

• 连续与离散：连续系统为输入连续信号输出连续信号的系统；离散系统为输入离散信号，输出离散信号的系统
• 记忆与无记忆：若一个系统的输出仅取决于该时刻的输入，则为无记忆系统，否则为记忆系统
• 可逆与不可逆：若一个系统的输入和输出为一一对应关系（不同的输入下导致不同的输出），则为一个可逆系统（存在一个逆系统），否则为一个不可逆系统
• 因果性：若一个系统在任何时刻的输出仅取决于现在的输入和过去的输入，则为因果系统，否则为非因果系统
• 稳定型：若一个系统在输入有界（输入幅度不是无界增长的），则系统输出也是有界的，则为一个稳定系统，否则为不稳定系统
• 时不变性：若系统的特性和行为不随时间改变，系统为时不变系统，即系统$ y(t) = f(x(t))$，对任意T有$ y(t + T) = f(x(t + T))$；否则为时变系统
• 线性：若对于一个系统F，任意两个信号x(t)和y(t)，任意两个常数a、b，满足$ F(a \times x(t) + b \times y(t)) = a \times F(x(t))+b \times F(y(t))$，则为一个线性系统

2.2.单位脉冲响应

对于一个任意一个脉冲信号$ x[n]$，对任意一个点N，有：

$$x[n] \times \delta[n-N] = \begin{cases}x[N] & n = N \\ 0 & n \neq N\end{cases}$$

由于$\delta[n-N]$仅在n=N时取1，其他位置取零，所以与$ x[n]$相乘后仅有n=N处保留，其他清零。因此对$ x[n]$的每个点都做此操作求和有：

$$x[n] = \sum\limits_{t=-\infty}^\infty(\begin{cases}x[t] & n = t \\ 0 & n \neq t\end{cases}) = \sum\limits_{t=-\infty}^\infty x[t] \times\delta[n-t]$$

取一个线性时不变系统$ f(x)$，对该信号进行处理：

$$f(x[n]) = f(\sum\limits_{t=-\infty}^\infty x[t] \times\delta[n-t]) = \sum\limits_{t=-\infty}^\infty f(x[t] \times\delta[n-t]) = \sum\limits_{t=-\infty}^\infty x[t] \times f(\delta[n-t])$$

取$ h_t[n] = f(\delta[n-t])$有：

$$f(x[n]) = \sum\limits_{t=-\infty}^\infty x[t] \times h_t[n]$$

取单位脉冲响应为$ h[n] = f(\delta[n])$，系统f为时不变系统，因此有$ h_t[n] = h[n-t]$，带入有：

$$f(x[n]) = \sum\limits_{t=-\infty}^\infty x[t] \times h[n-t]$$

2.3.单位冲激响应

与单位脉冲相应类似，在连续信号中，取系统单位冲激$\delta(t)$的响应为$ h(t)$，则对任意信号$ x(t)$，有：

$$x(t) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(i)\delta(t-i)di$$

则对应的响应$ y(t)$为：

$$y(t) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(i)h(t-i)di$$

2.4.线性时不变系统特性

使用*运算符表示卷积运算，带入有：

$$y[n] = f(x[n]) = \sum\limits_{t=-\infty}^\infty x[t] \times h[n-t] = x[n] * h[n] \\ y(t) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(i)h(t-i)di = x(t) * h(t)$$

因此线性时不变系统的处理可以看成输入信号与单位响应的卷积，对于卷积，具有以下特性（均使用离散表示，连续亦然）：

• 交换律：$ x[n] h[n] = h[n] x[n]$
• 分配律：$ x[n] (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] h_1[n] + x[n] * h_2[n]$，物理含义为两个并联的系统可以看成一个系统
• 结合律：$ x[n](h_1[n] h_2[n]) = (x[n] h_1[n]) h_2[n]$，物理含义为串联的两个系统可以看成一个系统

2.4.1.有/无记忆系统

对于有无记忆的系统，有以下定义：

• 无记忆系统：当前输出仅与当前输入有关，类比于数字电路中的纯组合逻辑
• 有记忆系统：非无记忆系统均为有记忆系统

由上，对于无记忆系统，一方面当前时刻输出必须仅与当前时刻输入有关，另一方面当前时刻输入不能影响其他时刻输出，因此仅有单位脉冲/冲激响应$ h $满足以下条件时，才为无记忆系统：

$$h[n] = K\delta[n] \\ h(t) = K\delta(t)$$

2.4.2.可逆系统

对于可逆系统，按定义，需要满足以下条件：

$$x(t) * h(t) * h_1(t) = x(t)$$

其中$ h_1(t)$为$ h(t)$的逆系统，根据分配律，有：

$$x(t) * (h(t) * h_1(t)) = x(t)$$

对于一个线性时不变系统，需要满足：

$$h(t) * h_1(t) = \delta(t) \\ h[n] * h_1[n] = \delta[n]$$

即$ h_1 $为$ h $的逆系统。

2.4.3.因果系统

因果系统为当前时刻的输出仅取决于现在的输入和过去的输入的系统。对于一个线性时不变系统而言，需要满足：

$$n < 0 \to h[n] = 0 \\ t <0 \to h(t) = 0$$

即单位脉冲/冲激响应小于0的时间点响应均为0，该系统为因果系统。

2.4.4.稳定系统

对于一个系统而言，若其输入x是有界的，则推出响应y也是有界的，则该系统是稳定的。

3.周期信号的傅里叶级数

傅里叶级数为使用纯虚数信号表示周期信号，首先考虑为什么使用纯虚数信号。对于线性时不变系统处理纯虚数信号x，有以下性质：

$$y(t) = Cx(t)$$

C为一个常数（可能为复数），即线性时不变系统处理纯虚数信号，结果为一个常数乘以该信号（称该信号为系统的特征函数，C为特征值）。

3.1.连续周期信号傅里叶级数

连续周期信号的傅里叶级数如下所示：

$$x(t) = \sum\limits^{\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jk(\frac{2\pi}{T})t}$$

其中$ e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}$为纯虚数信号，$ a_k $为振幅，T为x(t)的基波周期，有：

$$a_k = \frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}dt$$

3.1.1.傅里叶级数收敛性

不是所有的信号都具有傅里叶级数（可以进行傅里叶分解），下面给出一些必要条件：

• 所有的连续周期信号都有一个傅里叶级数表示
• 对于一个在一个周期内能量有限的信号（$\int_T|x(t)|^2dt < \infty $），都有一个傅里叶级数表示

以上两个信号可覆盖大部分真实存在的信号，另外，对于傅里叶级数收敛性，有狄里赫利条件，如下所示：

• 在任何周期内，信号x为绝对可积的（$\int_T|x(t)|dt < \infty $）
• 在任意周期内，x具有有限个起伏变化（任何单周期内x的最大值和最小值数量有限）
• 在x有任何有限区间内，只有有限个不连续点，且这些不连续点上函数是有限值

当同时满足以上条件时，傅里叶级数收敛。一般不满足上述条件的信号都比较异常，一般都不在需要分析的信号范围内。

3.1.2.傅里叶级数性质

首先考虑傅里叶级数的一种数学表示：

$$x(t) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_k$$

其中$ a_k $为信号x的傅里叶级数，t为基波频率倍数（分量的基波频率为信号基波频率的多少倍）。随后需要考虑性质，可以将上述箭头看成等号，傅里叶级数性质描述的为对左侧（或右侧）进行操作后，右侧（或左侧）需要进行如何操作使傅里叶级数分解仍然成立。考虑两个信号x和y，其基波周期均为T，对应傅里叶级数为$ a_k $和$ b_k $，有以下性质：

• 线性：$ Ax(t) + Bx(t) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} Aa_k + Bb_k $
• 时移：$ x(t-t_0) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_ke^{jk(\frac{2\pi}{T})t_0}$（信号时移对应分量时移）
• 频移：$ e^{jM(\frac{2\pi}{T})t}x(t) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_{k-M}$
• 共轭：$ x^(t) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_{-k}^$
• 时间反转：$ x(-t) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_k $
• 时间尺度变换：$ x(\alpha t) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_k $（时间尺度变换后级数不变）
• 卷积：$\int_Tx(\alpha)y(t-\alpha)d\alpha \stackrel{FS}{\leftrightarrow} Ta_kb_k $（时域卷积等效于频域乘法）
• 乘法：$ x(t)y(t) \stackrel{FS}{\leftrightarrow} \sum\limits{l = -\infty}^{+\infty}a_lb{k-l}$（时域乘法等效于频域卷积）
• 微分：$\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{FS}{\leftrightarrow} jk\frac{2\pi}{T}a_k $
• 积分：$\int^t_{-\infty}x(t)dt \stackrel{FS}{\leftrightarrow} \frac{1}{jk\frac{2\pi}{T}}a_k $（仅当$ a_0 $为有限值且为周期时成立）

接下来需要描述的性质时为当信号具有某些特点时，级数对应的特点：

• 当x为实数信号时，有$ Re(ak) = Re(a{-k})$，$ Im(ak) = -Im(a{-k})$（级数实部为偶函数，虚部为奇函数）
• 当x为实数偶信号时，$ a_k $为实偶函数
• 当x为实数奇信号时，$ a_k $为纯虚奇函数
• x进行奇偶分解后，偶函数对应的傅里叶级数为$ a_k $的实部，奇函数对应傅里叶级数为$ a_k $的虚部（纯虚数）

最后描述帕斯瓦尔定理，如下所示：

$$\frac{1}{T}\int_T|x(t)|^2dt = \sum\limits^{+\infty}_{k = -\infty}|a_k|^2$$

3.2.离散周期信号的傅里叶级数

离散周期信号傅里叶级数如下所示：

$$x[n] = \sum\limits_{k=<N>}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}$$

其中N为基波周期，$ a_k $为傅里叶级数：

$$a_k = \frac{1}{N} \sum\limits_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$$

离散周期信号不存在收敛性问题，其性质与连续信号类似，第一种性质即对左侧（或右侧）进行操作后，右侧（或左侧）需要进行如何操作使傅里叶级数分解仍然成立。考虑两个信号x和y，其基波周期均为N，对应傅里叶级数为$ a_k $和$ b_k $，有以下性质：

• 线性：$ Ax[n] + Bx[n] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} Aa_k + Bb_k $
• 时移：$ x[n-n_0] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_ke^{jk(\frac{2\pi}{T})n_0}$（信号时移对应分量时移）
• 频移：$ e^{jM(\frac{2\pi}{T})n}x[n] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_{k-M}$
• 共轭：$ x^[n] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_{-k}^$
• 时间反转：$ x[-n] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} a_{-k}$
• 时间尺度变换：$ x_m[n] = \begin{cases}x[\frac{n}{m}] & n为m倍数\ 0 & other\end{cases} \stackrel{FS}{\leftrightarrow} \frac{1}{m}a_k $（时间尺度变换后级数不变）
• 卷积：$\sum\limits_{r=}x[r]y[n-r] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} Na_kb_k $（时域卷积等效于频域乘法）
• 乘法：$ x[n]y[n] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} \sum\limits{l = }a_lb{k-l}$（时域乘法等效于频域卷积）
• 一阶差分：$ x[n] - x[n-1] \stackrel{FS}{\leftrightarrow} (1-e^{-jk\frac{2\pi}{N}})a_k $
• 求和：$\sum\limits^{n}_{k=-\infty}x[k]\stackrel{FS}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-jk\frac{2\pi}{N}}}a_k $（仅当$ a_0 $为有限值且为周期时成立）

接下来需要描述的性质时为当信号具有某些特点时，级数对应的特点：

• 当x为实数信号时，有$ Re(ak) = Re(a{-k})$，$ Im(ak) = Im(a{-k})$（级数实部为偶函数，虚部为奇函数）
• 当x为实数偶信号时，$ a_k $为实偶函数
• 当x为实数奇信号时，$ a_k $为纯虚奇函数
• x进行奇偶分解后，偶函数对应的傅里叶级数为$ a_k $的实部，奇函数对应傅里叶级数为$ a_k $的虚部（纯虚数）

最后描述帕斯瓦尔定理，如下所示：

$$\frac{1}{N} = \sum\limits_{n=<N>}|x[n]|^2 = \sum\limits_{k = <N>}|a_k|^2$$

3.3.傅里叶级数对于系统的意义

这里需要重新回到为什么将信号分解到纯虚数上，由于纯虚数信号为线性时不变的特征信号，对于一个系统（响应为h）有：

$$\begin{cases}x(t) = e^{st} & y(t) = H(s)e^{st} & H(s) = \int^{+\infty}_{-\infty}h(r)e^{-sr}dr \\ x[n] = z^n & y[n] = H(z)z^n & H(z) = \sum\limits^{+\infty}_{k = -\infty}h[k]z^{-k}\end{cases}$$

当取$ s = jw,z=e^{jw}$时，$ w=\frac{2\pi}{T}$为频率，H为频域响应，公式如下所示：

$$H(jw) = \int^{+\infty}_{-\infty}h(r)e^{-jwr}dr \\ H(e^{jw}) = \sum\limits^{+\infty}_{k = -\infty}h[k]e^{-jwk}$$

描述了经过系统处理后，原信号的每个频率分量（$ rw $和$ kw $）的幅度变为原来的多少倍。这样信号的处理过程可以被分解为以下步骤：

• 输入信号x被分解傅里叶级数（每个级数对应一个频率分量）
• 按频域响应对每个傅里叶级数进行缩放（等效于改变每个频率分量的振幅）
• 将处理后的傅里叶级数组合为响应信号y

公式描述如下所示：

$$\begin{cases}x(t) = \sum\limits^{\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jk(\frac{2\pi}{T})t} \to b_k = a_kH(jk\frac{2\pi}{T}) \to \sum\limits^{\infty}_{k=-\infty}b_ke^{jk(\frac{2\pi}{T})t} = y(t) \\ x[n] = \sum\limits_{k=<N>}a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} \to b_k = a_kH(e^{j\frac{2\pi}{N}k}) \to \sum\limits_{k=<N>}b_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} = y[n] \end{cases}$$

4.傅里叶变换

需要注意的是“傅里叶级数”和“傅里叶变换”并不是一个概念，傅里叶级数的分析对象是周期信号，而傅里叶变换研究的对象是周期信号和非周期信号，对于非周期信号，研究方式是将其看成一个周期无穷大的周期信号

4.1.连续信号的傅里叶变换

连续傅里叶变换如下所示：

$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty}X(jw)e^{jwt}dw$$

其中$ X(jw)$为频谱，有：

$$X(jw) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jwt}dt$$

4.1.1.连续信号傅里叶变换收敛性

连续信号傅里叶变换的收敛性与傅里叶级数类似，非周期信号对应周期T无穷大的周期信号，因此以下为一些必要条件：

• 所有的连续信号都有一个傅里叶变换
• 对于一个能量有限的信号（$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt < \infty $），都有一个傅里叶变换

同样具有有狄里赫利条件（必要条件），如下所示：

• 信号x为绝对可积的（$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt < \infty $）
• x在任何有限区间内，具有有限个起伏变化（任何单周期内x的最大值和最小值数量有限）
• 在x有任何有限区间内，只有有限个不连续点，且这些不连续点上函数是有限值

4.1.2.连续信号傅里叶变换性质

首先考虑傅里叶级数的一种数学表示：

$$x(t) \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(jw)$$

其中$ X(jw)$为信号x的傅里叶分解。随后需要考虑性质，可以将上述箭头看成等号，傅里叶分解性质描述的为对左侧（或右侧）进行操作后，右侧（或左侧）需要进行如何操作使傅里叶分解仍然成立。考虑两个信号x和y，对应傅里叶分解为$ X(jw)$和$ Y(jw)$，有以下性质：

• 线性：$ Ax(t) + Bx(t) \stackrel{F}{\leftrightarrow} AX(jw) + BY(jw) $
• 时移：$ x(t-t_0) \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(jw)e^{jwt_0}$（信号时移对应频谱相移）
• 频移：$ e^{jw_0t}x(t) \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(j(w-w_0))$
• 共轭：$ x^(t) \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(-jw)^$
• 时间反转：$ x(-t) \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(-jw)$
• 时间尺度变换：$ x(\alpha t) \stackrel{F}{\leftrightarrow} \frac{1}{|\alpha|}X(\frac{jw}{\alpha})$（时间尺度变换后频谱缩放）
• 卷积：$ x * y \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(jw)Y(jw)$（时域卷积等效于频域乘法）
• 乘法：$ x(t)y(t) \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(jw) * Y(jw)$（时域乘法等效于频域卷积）
• 微分：$\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{F}{\leftrightarrow} jwX(jw)$
• 积分：$\int^t_{-\infty}x(t)dt \stackrel{F}{\leftrightarrow}\frac{1}{jw}X(jw) + \pi X(0)\delta(w)$

接下来需要描述的性质时为当信号具有某些特点时，级数对应的特点：

• 当x为实数信号时，有$ Re(X(jw)) = Re(X(-jw))$，$ Im(X(jw)) = -Im(X(-jw))$
• 当x为实数偶信号时，$ X(jw)$为实偶函数
• 当x为实数奇信号时，$ X(jw)$为纯虚奇函数
• x进行奇偶分解后，偶函数对应的傅里叶分解为$ X(jw)$的实部，奇函数对应傅里叶分解为$ X(jw)$的虚部（纯虚数）

最后描述帕斯瓦尔定理，如下所示：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}|X(jw)|^2dw$$

4.2.离散信号的傅里叶变换

离散信号$ x[n]$的傅里叶变换如下所示：

$$x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw$$

$ X(e^jw)$为频谱，有：

$$X(e^{jw}) = \sum\limits^{+\infty}_{-\infty}x[n]e^{-jwn}$$

4.2.1.离散信号傅里叶变换收敛性

与离散信号傅里叶级数不同，并不是所有的离散信号都具有傅里叶变换（傅里叶变换收敛），满足以下条件任意之一的信号，傅里叶变换均收敛：

• 有限长信号
• 绝对可和：$\sum\limits^{+\infty}_{-\infty}|x[n]| < \infty $
• 能量有限：$\sum\limits^{+\infty}_{-\infty}|x[n]|^2 < \infty $

4.2.2.离散周期信号的傅里叶变换

周期信号变换具有傅里叶级数，其进行傅里叶变换后，其频谱$ X(e^{jw})$和级数$ a_k $具有以下关系：

$$X(e^{jw}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k \delta(w-\frac{2\pi k}{N})$$

4.2.3.离散信号傅里叶变换性质

首先考虑傅里叶级数的一种数学表示：

$$x[n]\stackrel{F}{\leftrightarrow} X(e^{jw})$$

其中$ X(jw)$为信号x的傅里叶分解。随后需要考虑性质，可以将上述箭头看成等号，傅里叶分解性质描述的为对左侧（或右侧）进行操作后，右侧（或左侧）需要进行如何操作使傅里叶分解仍然成立。考虑两个信号x和y，对应傅里叶分解为$ X(jw)$和$ Y(jw)$，有以下性质：

• 线性：$ Ax[n] + Bx[n] \stackrel{F}{\leftrightarrow} AX(e^{jw}) + BY(e^{jw}) $
• 时移：$ x[n-n_0] \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(e^{jw})e^{jwn_0}$（信号时移对应频谱相移）
• 频移：$ e^{jw_0n}x[n] \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(e^{j(w-w_0)})$
• 共轭：$ x^[n] \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(e^{-jw})^$
• 时间反转：$ x[n]\stackrel{F}{\leftrightarrow} X(e^{-jw})$
• 时间尺度变换：时间尺度变换：$ x_m[n] = \begin{cases}x[\frac{n}{m}] & n为m倍数\ 0 & other\end{cases} \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(e^{jmw})$
• 卷积：$ x * y \stackrel{F}{\leftrightarrow} X(e^{jw})Y(e^{jw})$（时域卷积等效于频域乘法）
• 乘法：$ x[n]y[n] \stackrel{F}{\leftrightarrow} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{jr}) * Y(e^{j(w-r)})dr $（时域乘法等效于频域卷积）
• 差分：$ x[n] - x[n-1] \stackrel{F}{\leftrightarrow} (1-e^{-jw})X(e^{jw})$
• 积分：$\sum\limits{k=-\infty}^{n}x[k] \stackrel{F}{\leftrightarrow}\frac{1}{1-e^{-jw}}X(e^{jw}) + \pi X(e^{j0})\sum\limits^{+\infty}{k=-\infty} \delta(w-2\pi k)$

接下来需要描述的性质时为当信号具有某些特点时，级数对应的特点：

• 当x为实数信号时，有$ Re(X(e^{jw})) = Re(X(e^{-jw}))$，$ Im(X(e^{jw})) = -Im(X(e^{-jw}))$
• 当x为实数偶信号时，$ X(e^{jw})$为实偶函数
• 当x为实数奇信号时，$ X(e^{jw})$为纯虚奇函数
• x进行奇偶分解后，偶函数对应的傅里叶分解为$ X(e^{jw})$的实部，奇函数对应傅里叶分解为$ X(e^{jw})$的虚部（纯虚数）

最后描述帕斯瓦尔定理，如下所示：

$$\sum\limits^{+\infty}_{n=-\infty}|x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{jw})|^2dw$$

5.拉普拉斯变换

傅里叶分解具有一定的局限性，例如无法分解不稳定系统（傅里叶分解不收敛）。但是应用相同的思路——将信号分解为多个分量——可以将连续信号的傅里叶分解推广为拉普拉斯变换。推广的方式如下：

$$e^{jwt} \to e^{st},s=a + bj$$

即不再使用特殊的纯虚数信号进行分解，而是将信号分解为更一般的$ e^{st}$，当$ s=jw $时，拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。

5.1.拉普拉斯变换公式

拉普拉斯变换公式如下所示：

$$X(s) = \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-st}dt$$

其中$ X(s)$可以视为一种广义的频谱，将X合成为原信号的公式为：

$$x(t) = \frac{1}{2\pi j}\int^{Re(s)+j\infty}_{Re(s)-j\infty}X(s)e^{st}ds$$

拉普拉斯将信号分解为一系列信号$ e^{st}$上，因此需要选择一组s。根据上述公式，选择的一组s为实部不变，虚部变化的数，表达式为：

$$S = \{s|Re(s) = a\} = \{a + bj| -\infty < b < +\infty\}$$

其中a为定值。

5.2.拉普拉斯变换两要素

拉普拉斯变换的两个要素为：

• 收敛域
• 零点和极点

首先考虑收敛域问题，s的选择不是任意的，即需要选择特定的一组s使以上两个公式成立。首先考虑特殊情况即傅里叶变换（$ s=jw $），当$ jw $在信号x的拉普拉斯收敛域中时，表示这个信号x的傅里叶变换存在；反之则傅里叶变换不存在。收敛域可以使用如下表示：

$$a < Re(s) < b$$

其中a和b可以为$-\infty $或$+\infty $，收敛域一定为在是s平面（横轴为实数分量，纵轴为虚数分量）垂直于横轴（实数分量）的条带状区域。如下图所示：

对于信号不同的情况，收敛域有以下性质：

• x(t)是有限持续期且绝对可积的，则收敛域是整个s平面
• x(t)为右边信号（当$ t < T,x(t) = 0 $），则$ b = +\infty $，即$ Re(s) > a $
• x(t)为左边信号（当$ t>T,x(t)=0 $），则$ a=-\infty $，即$ Re(s) < b $
• x(t)为双边信号（不为左边信号和右边信号），则$ a \neq \infty,b \neq \infty $，即$ a < Re(s) < b $且a和b均为有限值

下面考虑零点和极点，极点和零点的概念为使函数为无穷大和0的点。对于一个有理拉普拉斯变换的结果$ X(s)$，可以使用如下表示：

$$X(s) = M \frac{\prod\limits^R_{i=0}(s-p_i)}{\prod\limits^R_{j=0}(s-q_j)}$$

对于这里的零点和极点，有：

• 零点：$ p_i $为零点，因为$ X(p_i) = 0 $
• 极点：$ q_i $为极点，因为$ X(q_i) = 0 $

对于在收敛域中的一组s，每个点和零点\极点之间都可以连接一条线，这条线的长度和实数轴的角度与分解的对应$ X(s)$的幅度和向量有关。

5.3.拉普拉斯变换的特性

首先考虑傅拉普拉斯的一种数学表示：

$$x(t) \stackrel{L}{\leftrightarrow} X(s)$$

其中$ X(s)$为信号x的拉普拉斯变换。随后需要考虑性质，可以将上述箭头看成等号，拉普拉斯分解的性质描述的为对左侧（或右侧）进行操作后，右侧（或左侧）需要进行如何操作使拉普拉斯变换仍然成立。考虑两个信号x和y，对应拉普拉斯变换为$ X(s)$和$ Y(s)$，收敛域为$ R_1,R_2 $有以下性质：

• 线性：$ Ax(t) + Bx(t) \stackrel{L}{\leftrightarrow} AX(s) + BY(s) $，收敛域至少为$ R_1 \cap R_2 $
• 时移：$ x(t-t_0) \stackrel{L}{\leftrightarrow} X(s)e^{-st_0}$，收敛域为$ R_1 $
• 频移：$ e^{s_0t}x(t) \stackrel{L}{\leftrightarrow} X(s-s_0)$，收敛域为$ R_1 $的平移，若$ s-s_0 $在$ R_1 $内，则s在收敛域内
• 共轭：$ x^(t) \stackrel{L}{\leftrightarrow} X^(s^*)$，收敛域为$ R_1 $
• 时间尺度变换：$ x(\alpha t) \stackrel{L}{\leftrightarrow} \frac{1}{|\alpha|}X(\frac{s}{\alpha})$，收敛为$\frac{R}{\alpha}$，即若$\frac{s}{a} \in R_1 $则s在收敛域内
• 卷积：$ x * y \stackrel{L}{\leftrightarrow} X(s)Y(s)$（时域卷积等效于频域乘法），收敛域至少为$ R_1 \cap R_2 $
• 微分：$\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{L}{\leftrightarrow} sX(s)$，收敛域至少为$ R_1 $
• 积分：$\int^t_{-\infty}x(t)dt \stackrel{L}{\leftrightarrow}\frac{1}{s}X(s)$，收敛域至少为$ R_1 \cap {s|Re(s) > 0}$
• 频域微分：$-tx(t) \stackrel{L}{\leftrightarrow} sX(s)$，收敛域为$ R_1 $

另有初值定理和终值定理，对于一个$ t < 0,x(t)=0 $且在$ t=0 $时不包括任何冲激或高阶奇异函数时，有：

• $ \lim\limits{t\to0^+}x(t) = \lim\limits{s\to\infty}sX(s)$
• $ \lim\limits{t\to \infty}x(t) = \lim\limits{s\to0}sX(s)$

5.4.拉普拉斯变换对于系统的意义

首先考虑对信号处理的意义，对于一个信号x，有一个系统，其单位冲激响应为h，处理后结果为信号y，有：

$$Y(s) = H(s)X(s) \\ y(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow}Y(s),x(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow}X(s),h(t)\stackrel{L}{\leftrightarrow}H(s)$$

即可以将信号分解为频谱后与响应的频谱后直接相乘，即可得到处理后信号的拉普拉斯变换。此外，拉普拉斯变换还可以描述一些系统的性质，如下所示：

• 因果性：因果系统的系统函数（单位冲激响应进行拉普拉斯变换）收敛域为某个右半平面（单位冲激响应一定为右边信号）
• 稳定性：当且仅当系统函数的收敛域包括$ jw $轴（s平面纵轴，$ Re(s)=0 $）时，一个线性时不变系统是稳定的

6.z变换

6.1.z变换公式

z变换公式如下所示：

$$X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}$$

其中$ X(z)$可以视为一种广义的频谱，将X合成为原信号的公式为：

$$x(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{|z|=a}X(z)z^{n-1}dz$$

其中积分$\int_{|z|=a}$对应的积分区域为所有模为a的z。z变换将信号分解为一系列信号$ z^n $上，因此需要选择一组z。根据上述公式，选择的一组z为模不变的数，表达式为：

$$S = \{z||z|= a\} = \{h + kj| h^2+k^2=a^2\}$$

其中a为定值。

6.2.z变换两要素

与拉普拉斯变换类似，z变换的两个要素为：

• 收敛域
• 零点和极点

首先考虑收敛域问题，z的选择不是任意的，即需要选择特定的一组z使以上两个公式成立。首先考虑特殊情况即傅里叶变换（$ z=e^{jw}$），当$ e^{jw}$在信号x的z变换收敛域中时，表示这个信号x的傅里叶变换存在；反之则傅里叶变换不存在。收敛域可以使用如下表示：

$$a < |z| < b$$

其中a和b可以为$ 0 $或$+\infty $，收敛域一定为在是z平面（横轴为实数分量，纵轴为虚数分量）以原点为圆心的圆环。如下图所示：

对于信号不同的情况，收敛域有以下性质：

• x[n]是有限长序列，则收敛域是整个z平面，可能不包括$|z|=0 $和$|z|=\infty $
• x[n]为右边信号（当$ n < N,x[n] = 0 $），则$ b = +\infty $，即$|z| > a $，不包括$|z|=\infty $
• x(t)为左边信号（当$ n>N,x[n]=0 $），则$ a= 0 $，即$|z| < b $，不包括$|z|=\infty $
• x(t)为双边信号（不为左边信号和右边信号），则$ a \neq 0,b \neq \infty $，即$ a < |z| < b $且a和b均为有限值

下面考虑零点和极点，对于一个有理z变换的结果$ X(z)$，可以使用如下表示：

$$X(z) = M \frac{\prod\limits^R_{i=0}(z-p_i)}{\prod\limits^R_{j=0}(z-q_j)}$$

对于这里的零点和极点，有：

• 零点：$ p_i $为零点，因为$ X(p_i) = 0 $
• 极点：$ q_i $为极点，因为$ X(q_i) = 0 $

对于在收敛域中的一组z，每个点和零点\极点之间都可以连接一条线，这条线的长度和实数轴的角度与分解的对应$ X(z)$的幅度和向量有关。

6.3.z变换的特性

首先考虑z变换的一种数学表示：

$$x[n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} X(z)$$

其中$ X(z)$为信号x的z变换。随后需要考虑性质，可以将上述箭头看成等号，拉普拉斯分解的性质描述的为对左侧（或右侧）进行操作后，右侧（或左侧）需要进行如何操作使z变换仍然成立。考虑两个信号x和y，对应z变换为$ X(z)$和$ Y(z)$，收敛域为$ R_1,R_2 $有以下性质：

• 线性：$ Ax[n] + Bx[n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} AX(z) + BY(z) $，收敛域至少为$ R_1 \cap R_2 $
• 时移：$ x[n-n_0] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} X(z)z^{-n_0}$，收敛域为$ R_1 $（可能增加0点和无穷大）
• 频移：$ e^{jw_0n}x[n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} X(e^{-jw_0}z)$，收敛域为$ R_1 $
• 共轭：$ x^[n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} X^(z^*)$，收敛域为$ R_1 $
• 时间尺度变换：$\alpha^n x[n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} X(\frac{z}{\alpha})$，收敛为$\alpha R_1 $，即若z在收敛域$ R_1 $中，则$\alpha z $在收敛域$\alpha R_1 $中
• 时间反转：$ x[-n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} X(z^{-1})$，收敛域为$ R_1^{-1}$，即若z在收敛域$ R_1 $中，则$ z^{-1}$在收敛域$ R_1^{-1}$中
• 卷积：$ x * y \stackrel{Z}{\leftrightarrow} X(z)Y(z)$（时域卷积等效于频域乘法），收敛域至少为$ R_1 \cap R_2 $
• 一次差分：$ x[n] - x[n-1] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} (1-z^{-1})X(z)$，收敛域至少为$ R_1 \cap {z \ | \ |z| \neq 0}$
• 累加：$\sum\limits^n_{k=-\infty}x[n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow}\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$，收敛域至少为$ R_1 \cap {z \ | \ |z| > 1}$
• z域微分：$ nx[n] \stackrel{Z}{\leftrightarrow} -z \frac{dX(z)}{dz}$，收敛域为$ R_1 $

另外有初值定理，若$ n < 0,x[n]=0 $，则有$ x[0] = \lim\limits_{z\to\infty}X(z)$

6.4.z变换对于系统的意义

首先考虑对信号处理的意义，对于一个信号x，有一个系统，其单位冲激响应为h，处理后结果为信号y，有：

$$Y(z) = H(z)X(z) \\ y[n]\stackrel{Z}{\leftrightarrow}Y(z),x[n]\stackrel{Z}{\leftrightarrow}X(z),h[n]\stackrel{L}{\leftrightarrow}H(z)$$

即可以将信号分解为频谱后与响应的频谱后直接相乘，即可得到处理后信号的z变换。此外，z变换还可以描述一些系统的性质，如下所示：

• 因果性：因果系统的系统函数（单位冲激响应进行z变换）收敛域包括无限远的某个圆外侧
• 稳定性：当且仅当系统函数的收敛域包括单位圆（$|z|=1 $）时，一个线性时不变系统是稳定的

7.拉普拉斯变换/z变换下的系统

根据拉普拉斯变换和z变换，对于线性时不变系统，有以下公式成立：

$$\begin{cases} Y(s) = X(s)H(s) & Y(s)\stackrel{L}{\leftrightarrow}y(t) & X(s)\stackrel{L}{\leftrightarrow}x(t) & H(s) \stackrel{L}{\leftrightarrow} h(t) \\ Y(z) = X(z)H(z) & Y(z) \stackrel{Z}{\leftrightarrow} y[n] & X(z) \stackrel{Z}{\leftrightarrow} x[n] & H(z) \stackrel{Z}{\leftrightarrow} h[n] \end{cases}$$

其中x为输入信号、y为输出信号、h为单位冲激响应/单位脉冲响应，可以绘制如下的系统图：

一个系统可能有多个子系统构成，考虑三种子系统的连接关系：串联、并联和反馈。串联的系统图如下所示，为两个或多个系统首尾相连。

这种情况下，等效系统的单位冲激响应为所有子系统的单位冲激响应的卷积，在频域上，即为所有子系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换之积，即如下公式（公式中使用连续信号表示，离散信号同理）所示：

$$y(t) =x(t) * h(t),h(t) = h_1(t) * h_2(t) \\ Y(s) = X(s)H(s),H(s) = H_1(s)H_2(s) \\$$

并联的系统图如下所示，为两个或多个系统连接到同一个输入，并将输出相加。如下图所示：

这种情况下，等效系统的单位冲激响应为所有子系统的单位冲激响应的累加，在频域上，即为所有子系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换之和，即如下公式（公式中使用连续信号表示，离散信号同理）所示：

$$y(t) =x(t) * h(t),h(t) = h_1(t) + h_2(t) \\ Y(s) = X(s)H(s),H(s) = H_1(s) +H_2(s) \\$$

最后一种连接方式为反馈，即将一个系统的输出信号经过另一个系统处理后和该系统的和取和，如下图所示：

这种情况下，适合使用频域进行分析，系统等效公式如下所示，其中$ H_1(s)$表示前馈通路上的系统，$ H_2(s)$表示反馈通路上的系统

$$Y(s) = X(s)H(s),H(s) = \frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}$$

8.采样

8.1.连续信号采样

连续信号采样最基础的方法是冲击串采样，即使用以下公式表示的信号和待采样信号相乘，获得一串幅度不同的冲激串，每个冲激信号表示在对应时刻的幅度：

$$p(t) = \sum\limits^{+\infty}_{n=-\infty}\delta(t-nT)$$

其中T为采样间隔，采样后信号如下公式所示：

$$x_p(t) = \sum\limits^{+\infty}_{n=-\infty}x(nT)\delta(t-nT)$$

上述过程是一个乘法过程，在频域上表示为卷积，对其进行傅里叶变换如下所示：

$$X_p(jw) = \frac{1}{2\pi}[X(jw) * P(jw)],P(jw) = \frac{2\pi}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(w - kw_s)$$

示意图如下所示：

采样过程相当于将信号在频域重复多次，使用一个低通滤波器可以从采样后数据中恢复原始是数据。恢复的前提是频谱无交叠，为了保证采样后的频谱无交叠，需要满足来奎斯特采样定理：采样信号的频率需要大于被采样信号的两倍。

8.2.连续信号转为离散信号

这个过程称为C/D转换，这里使用$ x_c(t)$表示连续域信号，$ x_d[n]$表示离散域信号，该过程分为两个步骤：

1. 使用一串冲激串采样连续信号$ x_c(t)$
2. 将冲激串采样结果$ x_p(t)$转为离散域信号$ x_d[n]$

第一步公式如下所示：

$$x_p(t) = \sum\limits^{+\infty}_{n=-\infty}x_c(nT)\delta(t-nT) \\ X_p(jw) = \frac{1}{2\pi}[X_c(jw) * P(jw)],P(jw) = \frac{2\pi}{T}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(w - kw_s)$$

第二步满足公式如下所示，其中T为采样冲激串的周期：

$$x_d[n] = x_c(Tn)$$

在频域上，有：

$$X_d(e^{jw_d}) = \sum\limits^{+\infty}_{n=-\infty}x_d[n]e^{-jw_d}$$

带入时域信号，有：

$$X_d(e^{jw_d}) = \sum\limits^{+\infty}_{n=-\infty}x_c(nT)e^{-jw_d}$$

带入$ x_c(t)$的傅里叶变换可得：

$$X_d(e^{jw_d}) = \frac{1}{T}\sum\limits^{+\infty}_{k=-\infty}X_c(j\frac{w_d-2\pi k}{T})$$

其中$ w_d $表示离散信号的频域变量。

8.3.离散信号转连续信号

这个过程称为D/C转换，这里使用$ x_c(t)$表示连续域信号，$ x_d[n]$表示离散域信号，该过程分为两个步骤：

1. 将离散域信号$ x_d[n]$转为冲激串采样结果$ x_p(t)$
2. 使用低通滤波器从冲激串采样结果中恢复出原始信号$ x_c(t)$

8.4.连续信号离散处理

连续信号离散处理的系统结构如下所示：

尽管冲激串采样过程是一个时变过程，但是对于一个带限信号，当所有采样频率足够高时（满足来奎斯特采样定理时），系统可以被看成一个线性时不变系统，取离散处理部分的频域响应为$ X(e^{jw_d})$，该系统的频域响应为：

$$H_c(jw_c) = \begin{cases} H_d(e^{jw_cT}) & |w_c| < \frac{w_s}{2} \\ 0 & |w_c| > \frac{w_s}{2} \end{cases}$$

其中$ w_s $为采样冲激串频率，T为采样冲激串的周期。上述系统的处理公式如下所示：

$$Y(jw_c) = H_c(jw_c)X(jw_c)$$